Elvir Baliç 1974 yılında dünyaya gelmiştir. 1984 senesinde Saraybosna’da futbol yaşantısına adım atmış Zeljenicar Sarajevo kulübü alt yapısında 8 sene oynamış 1992 yılında Sarajevo takımına transfer olmuştur. Savaş döneminde bir çok sıkıntı yaşamış bunların üstesinden gelmiştir ve Türkiye’de ilk olarak Bursa Spor forması giymiştir.
Kısa sürede bütün kulüplerin dikkatini çekmeyi başaran Baliç Türk vatandaşlığına geçmiştir. 1998’de rekor fiyat ile Fenerbahçe Spor Kulübüne transfer olan Baliç buradada başarısını sürdürmüş ve dünyanın en iyi kulüplerinden olan Real Madrid ile 1999 ve 2000 sezonu için anlaşmış ancak geçirmiş olduğu ciddi sakatlık nedeniyle fazla forma şansı elde edememiş ve tekrar Fenerbahçe’ye geri dönmüştür. Ardından Real Vallecano, Galatasaray, Konya, Ankaragücü ve İstanbulspor formalarını giyen Elvir Baliç 2009 yılında futbol yaşantısını sonlandırmış ve 2010 – 2014 yılları arası Bosna Hersek Milli takım yardımcı antrenörlüğü yapmış, 2015 yılında ise Ptt 1. liginde Karabükspor’u çalıştırmıştır. 1998 yılında Deniz Sinem ile evlenmiş 2000 yılında boşanmıştır. İki kızı vardır.
Aslen Bosna Hersek’li Türk vatandaşıdır.
Elvir Baliç oynadığı takımlar Željezničar Sarajevo, Bursaspor, Fenerbahçe, Real Madrid, Rayo Vallecano, Galatasaray, Konyaspor, Ankaragücü ve İstanbulspor. Ayrıca toplam 38 kez Bosna Hersek Milli takım formasını giymiş ve 14 gol atmıştır.